2.외적과 Hermitian Operator

2.외적과 Hermitian Operator

외적과 Hermitian Operator

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오늘은 외적(Outer Product)와 Hermitian Operator를 다뤄보도록 할게요. 그 외에도 설명하고 싶은 내용이 많지만 Hermitian을 설명하면서 다뤄보도록 하겠습니다.

  1. <v∣w>=(<w∣v>)∗<v|w> = (<w|v>)^* 내적의 순서를 바꾸면 켤레 복소수(complex conjugation)을 취해줘야 한다는 거 잊지 않았죠?
  2. <v∣w><v|w>는 어떤 값일까요? 정답 스칼라 값이에요. 벡터값이 아니랍니다. 이번 시간에도 잊지 말고 살펴봐주세요.
  3. <i∣v>=vi<i|v>=v_i 라는 것도 잘 기억해 둡시다.

투영 연산자 Projection Opeator

투영 연산자는 두 벡터가 있을 때 하나의 벡터에 다른 벡터를 수선을 내려 그 벡터 방향의 성분을 추출해내는 거에요.

<i∣V>=vi<i|V>=v_i 특히 base 벡터에 내적을 하게되면 해당 벡터의 i 번째 베이스 성분이 나오게 되요.

∣V>=∑invi∣i>|V> =\sum_{i}^{n}v_{i}|i> = ∑in<i∣V>∣i>\sum_{i}^{n}<i|V>|i> = ∑in∣i><i∣V>\sum_{i}^{n}|i><i|V>
= (∑in∣i><i∣)∣V>(\sum_{i}^{n}|i><i|)|V>

저번시간에 말한 것처럼 내적값은 항상 스칼라에요. 그러니깐 상수처럼 좌우로 움직일 수가 있죠. 그랬더니 보이시나요? (∑in∣i><i∣)(\sum_{i}^{n}|i><i|)이라는 모양이 나왔네요. 그리고 처음에 시작했던 값은 ∣V>|V>였는데 마지막 식을 살펴볼까요?

와우! (∑in∣i><i∣)=I(\sum_{i}^{n}|i><i|)=I라는 식을 만들어 냈어요. 이 연산자를 앞으로 자주쓰게 될거에요.

외적 Outer Product의 의미

내적을 스칼라값으로 바라보았다면, 외적 연산은 어떻게 바라볼 수 있을까요.

외적은 ∣w><v∣|w><v|로 표현할 수 있습니다. 외적은 다른 벡터를 입력으로 받아 벡터를 출력해주는 연산자(Operator)라고 부릅니다. 벡터 공간 V에서 W로 옮겨주는 선형 연산자라고 이해할 수 있어요.

(∣w><v∣)∣v′>(|w><v|)|v'> 이렇게 쓴다면 V공간에 있던 |v’> 벡터를 W 공간으로 이동시켜주는 거랍니다. 외적 연산자는 행렬로 생각할 수 있어요.

A = [111111]\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix}, ∣v′>=[11]|v'>=\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}, ∣w′>=[222]|w'>=\begin{bmatrix} 2 \\ 2 \\2 \end{bmatrix}

라고 한다면 A가 3 x 2 꼴의 행렬이니깐 2차원 벡터 ∣v′>|v'>를 3차원 벡터∣w′>|w'>으로 옮겨줄 수 있겠죠.

adjoint

이번에 새로운 연산자를 하나 정의해 볼거에요.
Ω∣v>\Omega|v>= ∣Ωv>|\Omega v> 우리는 전에 켓(ket)에 적용되는 일반적인 오퍼레이터 Ω\Omega를 정의했어요. 그러면 브라(bra)에도 대응되는 오퍼레이터도 만들어 내고 싶어요. 알다시피 브라는 켓을 켤레복소수를 취하고 열의 꼴을 행의 꼴로 바꿔준 거잖아요. 그래서 브라 기호에 들어가면 켤레복소수와 행과 열이 바뀌기 때문에 똑같은 오메가를 사용할 수 없어요.
<v∣Ω†<v|\Omega^\dagger = <Ωv∣<\Omega v|를 만족하는 오퍼레이터를 Ω†\Omega^\dagger라고 새롭게 정의했어요.

이제 식을 하나 유도해 볼게요.

이해가 되시나요. 우리가 만들어낸 Ω†\Omega^\dagger는 사실 Ω\Omega 연산자를 행렬의 순서를 뒤집고 켤레 복소수를 취해서 만들어낸 연산자랍니다. 이를 adjoint 라고 불러요.

에르미트 연산자 Hermitian Operator

Hermitian은 프랑스어로 에르미트라고 읽는다고 해요.
에르미트 연산자란 Ω†\Omega^\dagger = Ω\Omega 를 만족하는 특수한 경우의 연산자 Ω\Omega를 말해요.

에르미트 연산자는 세 가지 중요한 성질을 가져요.

  1. 고유값이 항상 실수다.
  2. 서로 다른 고유벡터는 서로 직교한다.
  3. 에르미트 연산자는 대각원소를 제외하고 모두 0을 갖으며, 대각원소(diagonal)값으로는 고유값을 가진다. 쉽게 말해 [α0...0β............]\begin{bmatrix} \alpha & 0 & ... \\ 0 & \beta & ... \\ ... & ... & ... \end{bmatrix} 이렇게 생긴 행렬이 되어야 한다는 말이에요.

1. 번 증명

에르미트 연산자 Ω\Omega에 대해서 (1) Ω∣w>\Omega|w> = α∣w>\alpha |w> 를 만족하는 고유값 α\alpha와 고유벡터 ∣w>|w>가 있다고 가정해볼게요.

(2) <w∣Ω∣w><w|\Omega|w> = <w∣α∣w><w|\alpha |w> = α<w∣w>\alpha <w |w>
(3) <w∣Ω∣w>∗<w|\Omega|w>^* = α∗<w∣w>∗\alpha^* <w|w>^* = α∗<w∣w>\alpha^* <w|w>
(4) <w∣Ω∣w>∗<w|\Omega|w>^* = <w∣Ωw>∗<w|\Omega w>^* = (<Ωw∣w>∗)∗(<\Omega w| w>^*)^* = <Ωw∣w><\Omega w| w> = <w∣Ω†∣w><w|\Omega^\dagger|w>
(5) <w∣Ω∣w>∗<w|\Omega|w>^* = <w∣Ω†∣w><w|\Omega^\dagger|w> = α∗<w∣w>\alpha^* <w|w>
(6) <w∣Ω†∣w><w|\Omega^\dagger|w> = α∗<w∣w>\alpha^* <w|w>
여기서 에르미트 연산자란 Ω†\Omega^\dagger = Ω\Omega를 만족한다고 했죠 즉
<w∣Ω∣w><w|\Omega|w> = <w∣Ω†∣w><w|\Omega^\dagger|w>
(7) α<w∣w>\alpha <w|w> = α∗<w∣w>\alpha^* <w|w>

식을 살펴보면 <w∣w><w|w> = ∣w∣2|w|^2로 실수값을 가지니까 약분해주면 α\alpha와 켤레복소수를 취한 α∗\alpha^*가 같은 값이라는 걸 알 수 있어요. 즉 고유값 α\alpha는 실수가 되요

여기서 잠깐 자주 쓰는 식을 정리하고 넘어갈게요. 앞으로 암기하시면 편해요.
(8) If Ω∣A>\Omega|A> = α∣A>\alpha |A>, Ω∣B>\Omega|B> = β∣B>\beta |B> 이면
<A∣Ω∣B>∗<A|\Omega|B>^* = <B∣Ω†∣A><B|\Omega^\dagger|A>
여기서 만약에 Ω\Omega가 에르미트 연산자라면
= <B∣Ω∣A><B|\Omega|A>가 되겠죠?
외우기 쉬우려면 전체의 켤레복수화는 양 벡터를 바꿔주고 에르미트 연산자로 바꿔주면 됩니다.

2번 증명

Ω∣v>\Omega|v> = α∣v>\alpha |v>, Ω∣w>\Omega|w> = β∣w>\beta |w>를 만족할 때 서로 다른 고유벡터 v, w가 직교한다고 했는데 그 이유를 살펴볼게요.

(1) <w∣Ω∣v><w|\Omega|v> = α<w∣v>\alpha<w|v>
(2) <v∣Ω∣w><v|\Omega|w> = β<v∣w>\beta<v|w>
(3) <w∣Ω∣v>∗<w|\Omega|v>^*= <v∣Ω†∣w><v|\Omega^\dagger|w> = <v∣Ω∣w><v|\Omega|w> by (1-8)
(4) <w∣Ω∣v>∗<w|\Omega|v>^* = (α<w∣v>)∗(\alpha<w|v>)^* = (α∗<w∣v>∗)(\alpha^*<w|v>^*) = α<w∣v>∗\alpha<w|v>^* by 1번 성질
= α<v∣w>\alpha<v|w>
= β<v∣w>\beta<v|w> by (3)

α<v∣w>\alpha<v|w> = β<v∣w>\beta<v|w>

(α−β)<v∣w>=0(\alpha - \beta) <v|w> = 0

여기서 고유값은 같지 않다고 가정할 거에요. 만약에 같다면 중근(degenerate)을 사용해서 풀어야하는데 그 부분은 좀 더 공부해야 하기 때문에 지금은 그렇지 않은 경우만 살펴봐도 충분해요.
따라서 고유 값이 같을 수 없으니깐 <v∣w>=0<v|w> = 0이 되고 두 고유벡터가 직교한다는 것까지 이해되셨나요? 헥헥

3번 증명

3번은 직접 증명하지는 않을거에요. 모든 고유벡터가 직교하고 각각 고유값을 가진 행렬을 구성하려면 대각 성분만 있는 행렬이 되어야 한다는 건 직관적으로 이해할 수 있을 거에요.

생략한 증명들

우리가 공부한 것을 이해했다면 스스로 풀 수 있다고 생각하지만 이번엔 못푸신 분들을 위해서 증명해볼게요.
자주나오는 유형이라고 했죠. 1번 증명에서 나온 (8)번 식을 살펴볼게요
(1-8) <A∣Ω∣B>∗<A|\Omega|B>^* = <B∣Ω†∣A><B|\Omega^\dagger|A>

proof1) <A∣Ω∣B>∗<A|\Omega|B>^* = <A∣ΩB>∗<A|\Omega B>^* = (<ΩB∣A>∗)∗(<\Omega B | A>^*)^* = (<B∣Ω†∣A>∗)∗(<B | \Omega^\dagger| A>^*)^* = <B∣Ω†∣A><B | \Omega^\dagger| A>

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