유니터리 오퍼레이터 (Unitary Operator)

4.Unitary Operator

Unitary Operator

양자역학에서 Unitary Operator라는 말이 나를 계속 괴롭혔다.

도대체 어떤게 유니터리(Unitary)야?

어떤 임의의 오퍼레이터 U가 U1=UU^{-1} = U^\dagger를 만족할경우 이 U를 유니터리 오퍼레이터라고 부르는데 왜 이런 정의를 했는지부터 알아보자.

(1) Uv>=v>U|v> = |v'>
(2) Uw>=w>U|w> = |w'>
=> (3) <vw>=<vw><v|w> = <v'|w'> 를 만족시키는 U를 찾고 싶었다.

(2)식 양변에 adjoint를 취해주면
<wU=<w<w|U^\dagger = <w'|
<wUUv>=<vw><w|U^\dagger U|v> = <v'|w'>를 만족하고 이 때 UU=IU^\dagger U = I를 만족해준다면 위의 (3)식이 만족하게 된다. 따라서 유니터리 오퍼레이터란 UU=IU^\dagger U = I를 만족하는 오퍼레이터며 몇 가지 특징을 가진다.

정리

  • <vw>=<vw><v|w> = <v'|w'>
  • <vv>=<vv><v|v> = <v'|v'> 를 살펴보면 오퍼레이터를 거친 v’ 벡터의 크기가 원래 벡터 v와 같은 것을 알 수 있다. 즉 크기를 변화시키지 않는 성질을 가진다.
  • UU=IU^\dagger U = I

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