유니터리 오퍼레이터 (Unitary Operator)

Unitary Operator

양자역학에서 Unitary Operator라는 말이 나를 계속 괴롭혔다.

도대체 어떤게 유니터리(Unitary)야?

어떤 임의의 오퍼레이터 U가 $U^{-1} = U^\dagger$를 만족할경우 이 U를 유니터리 오퍼레이터라고 부르는데 왜 이런 정의를 했는지부터 알아보자.

(1) $U|v> = |v'>$
(2) $U|w> = |w'>$
=> (3) $<v|w> = <v'|w'>$ 를 만족시키는 U를 찾고 싶었다.

(2)식 양변에 adjoint를 취해주면
$<w|U^\dagger = <w'|$
$<w|U^\dagger U|v> = <v'|w'>$를 만족하고 이 때 $U^\dagger U = I$를 만족해준다면 위의 (3)식이 만족하게 된다. 따라서 유니터리 오퍼레이터란 $U^\dagger U = I$를 만족하는 오퍼레이터며 몇 가지 특징을 가진다.

정리

• $<v|w> = <v'|w'>$
• $<v|v> = <v'|v'>$ 를 살펴보면 오퍼레이터를 거친 v’ 벡터의 크기가 원래 벡터 v와 같은 것을 알 수 있다. 즉 크기를 변화시키지 않는 성질을 가진다.
• $U^\dagger U = I$